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勘误

这篇博客中所提到的：

由于将数据集旋转后数据的各维度之间是不相关的

这句话的意思并不是说维度之间可以线性相关（我们知道坐标系一定是线性无关的）。

假设样本集有n个样本，其样本矩阵：

$${{\rm{X}}_{n \times m}}$$

求出的协方差中的，非对角元素代表的是在该样本矩阵中，不同维度之间的影响。而这篇博客是说协方差的非对角元素为0（各维度之间是不相关的）。

那么协方差的非对角元素为0本身代表什么意思？它是一种统计意义上的“不相关”：指的是对于给定的样本集，在该坐标系下，在这两个维度体现除了统计学意义上的无关性。

就是说样本集在指定坐标系下的某2个维度上体现出了无关性。

马氏距为什么能够很好地抵消不同维度的尺度差异？

这里要先明确几点：

• 两点之间的马氏距不会因为坐标系的旋转而发生变化

• 坐标系的旋转会导致样本的值和协方差发生变化

  d2(X,Y)=[(X−Y)UT](UΣXUT)−1[(X−Y)UT]T

  $${{\rm{d}}^2}(X,Y) = [(X-Y){U^T}](U{\Sigma _X}{U^T})^{-1}{[(X-Y){U^T}]^T}$$

  当坐标系旋转时，U就会发生变化 -> 样本的值和协方差发生变化

  当坐标系旋转到某个位置，协方差会变为对角矩阵：

  

里面的

$${\lambda _1}...{\lambda _m}$$ 反映了其他维度对本维度值的影响（为1就是不影响，否则就是影响）。

$\Sigma_X$的作用等效于先进行坐标系旋转，在得到了对角化的$\Sigma_F$后，再进行各维度尺度缩放（其对角线上的元素就是各个维度上的缩放比例）。